Conaway zyskał sławę rolą w musicalu "Grease" razem z Johnem Travoltą i Olivią Newton-John. Później występował m. in. w komediowym serialu telewizyjnym "Taxi", który w Stanach Zjednoczonych cieszył się dużą popularnością. Conaway był przez wiele lat uzależniony od alkoholu, narkotyków i środków przeciwbólowych, które zażywał z powodu dotkliwego bólu pleców, jakiego nabawił się podczas kręcenia "Grease". Dwa tygodnie temu aktora znaleziono w stanie śpiączki w jego mieszkaniu w Los Angeles. Po przewiezieniu go do szpitala, okazało się, że cierpi również na zapalenie płuc i sepsę. Conaway nie odzyskał przytomności. W piątek jego rodzina zadecydowała o odłączeniu go od aparatury podtrzymującej życie.