Strasky ukończył ekonomię polityczną na praskim Uniwersytecie Karola i pracował w bankowości. Po stłumieniu "praskiej wiosny" wystąpił w 1969 roku z partii komunistycznej, z której go później formalnie wykluczono. W maju 1991 roku został wicepremierem współtworzącej wtedy jeszcze federację Republiki Czeskiej z zadaniem nadzorowania reform gospodarczych. Od 1992 roku był także wiceprzewodniczącym ówczesnego najsilniejszego czeskiego ugrupowania politycznego, centroprawicowej Obywatelskiej Partii Demokratycznej (ODS). W lipcu 1992 roku objął funkcję premiera zmierzającej ku rozpadowi Czechosłowacji, a po ustąpieniu ostatniego czechosłowackiego prezydenta Vaclava Havla pełnił także obowiązki głowy państwa. W samodzielnej od 1 stycznia 1993 roku Republice Czeskiej był najpierw ministrem transportu, a od października 1995 roku kierował resortem zdrowia. Na początku 1998 roku opuścił wraz z grupą secesjonistów ODS i odszedł z rządu, kończąc w ten sposób karierę polityczną. Jako entuzjasta górskich terenowych rajdów narciarskich Strasky wchodził przez długi czas w skład prezydium Klubu Czeskich Turystów (KCT), a w latach 2006-2014 przewodniczył tej organizacji. Przez kilkanaście miesięcy na przełomie 2011 i 2012 roku pełnił obowiązki dyrektora górskiego Parku Narodowego Szumawa przy granicy z Bawarią. Był tam ostro atakowany przez ekologów za likwidowanie drzewostanów ogarniętych klęską kornika.